Александр Абубакирович родился в Первоуральске, в детские годы занимался в цирковой студии, потом увлекся танцами. В 1973 окончил Пермское хореографическое училище по классу педагога Иоэля Плахта и поступил на службу в челябинский театр.
«Мне, молодому артисту, сразу же доверили несколько сольных партий. Виталий Бутримович, тогда перспективный молодой балетмейстер, обратил на меня внимание и поставил несколько спектаклей с учетом моей индивидуальности и техники танца. В "Сотворении мира" у меня была ведущая партия Адама, в "Кармен-сюите" – роль Тореро. Был первым исполнителем роли Остапа Бендера на балетной сцене – всего более 30 партий. Если мне не нравилась чья-то постановка, я старался понять и полюбить своего героя, найти свои краски – иначе не сыграть искренне», – рассказывал Александр Мунтагиров в интервью еженедельнику «Аргументы и Факты» в 2009 году.
В репертуаре ведущего солиста были партии Артынова и Модеста Петровича из балета «Анюта» Валерия Гаврилина, Зигфрида и Ротбарта из «Лебединого озера» Петра Чайковского, Альберта из «Жизели» Адольфа Адана и другие. С 1988 по 1991 год руководил балетной студией при челябинском театре оперы и балета, с 1995 по 2002 год Александр Абубакирович занимал должность художественного руководителя челябинской балетной труппы.
«Мы много экспериментировали, участвовали в международных конкурсах и занимали призовые места. В наших спектаклях принимали участие звезды мирового балета: Николай Цискаридзе, Морихоро Ивата, Юкари Сайто, Дмитрий Гуданов», – рассказывал маэстро в том же интервью.
В 2001-м Александр Мунтагиров получил престижную российскую премию «Душа танца» в номинации «Рыцарь танца».
В 2002 году Александр Абубакирович возглавил кафедру хореографии Ханты-Мансийского филиала Московского государственного университета культуры и искусств. Сейчас продолжает преподавать в Центре искусств для одаренных детей Севера.
